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(틀:가져옴)


均等空間 / Uniform space

균등공간은 위상공간의 일종으로, 거리공간과 위상군을 크게 일반화시킨 개념이다.

TOC

1. 정의
2. 성질

1. 정의 (Edit) (-)

가 집합이고 가 주어졌을 때 가 균등공간이란 것은 다음이 성립하는 것을 말한다:

1. 이면 임의의 에 대해 이다.
2. 이고 이며 이면 이다.
3. 이면 이다.
4. 이면 어떤 가 있어 이다.
5. 이면 이다.

이 때 각 를 entourage라 부르며, 이는 직관적으로 충분히 가까운 원소들의 집합이란 의미를 갖고 있다. 즉, 여기서 는 거리공간의 open ball에서의 에서의 과 비슷한 역할을 한다. 그리고 는 이러한 '거리들의 척도'의 집합이라 해석할 수 있다. 이에 따라 각 정의를 설명하면 다음과 같다:

1. 는 자기 자신과 E만큼 가깝다.
2. 보다 더 '큰 가까움 척도' 는 진짜 가까움을 나타내는 척도이다.
3. 에 해당하는 가까움 척도도 존재한다.
4. 에 해당하는 역할을 하는 가까움 척도도 존재한다.
5. 가까움 척도는 (느슨한 관점에서) 순서 바꿈을 허용한다.

2. 성질 (Edit) (-)

균등공간이 T1 공리를 만족하면 이는 티호노프 공간이다. 사실, 어떤 T1-위상공간이 균등화 가능할 필요충분조건은 그 공간이 티호노프 공간인 것이다.

균등공간 위에서는 코시 수열이나 균등연속, 완전유계에 대해서 논할 수 있다.